ملخص مفاهيم ونظريات ونتائج الهندسة للصف الثالث
نتائج الزوايا والأقواس:
(1) قياس القوس = قياس الزاوية المركزية المقابلة له
(2) قياس الدائرة =360 ْ, قياس نصف الدائرة= 180 ْ, قياس ربع الدائرة =90 ْ
طول الدائرة = محيط الدائرة = 2 ط نق وحدة طول ،
طول نصف الدائرة = ط نق وحدة طول,محيط نصف الدائرة = ط نق+2نق وحدة طول
(3) قياس القوس ÷ قياس الدائرة = طول القوس ÷طول الدائرة
(4) في الدائرة الواحدة أو في الدوائر المتطابقة القوسين المتساويان في القياس متساويان في الطول والعكس صحيح
(5) في الدائرة الواحدة أو في الدوائر المتطابقة القوسين المتساويان يقابلهما وتران متساويان في الطول والعكس صحيح
(6) الوترين المتوازيان يحصران بينهما قوسين متساويان في القياس
(7) إذا وازى مماسا للدائرة وترا في الدائرة فإنهما يحصران بينهما قوسين متساويان في القياس.
نظرية (1)
قياس الزاوية المحيطية يساوى نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في قوس واحد.
نتائج نظرية
(1) قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل لها
(2) الزاوية المحيطية المرسومة فى نصف دائرة قائمة .
تمارين مشهورة :
(1) إذا كان أ ب ، جـ ء وترين متقاطعين داخل الدائرة فى نقطة هـ فإن
ق (<أ هـ جـ) = نصف ق القوس ( أ جـ ) + نصف ق القوس (ء ب )
(2) إذا كان أ ب ، جـ ء وترين متقاطعين خارج الدائرة فى نقطة هـ فإن
ق (<أ هـ جـ) = نصف ق القوس ( أ جـ ) ـــ نصف ق القوس (ء ب )
نظرية (2):
الزوايا المحيطية المشتركة في قوس واحد متساوية في القياس
نتيجة : الزوايا المحيطية التي تحصر أقواسا متساوية في القياس تكون متساوية في القياس .
عكس نظرية (2) :
إذا كانت الزاويتان المرسومتان على قاعدة
واحدة وفى جهة واحدة منها متساويتان في القياس فإن رأسيهما تقعان على دائرة واحدة وهذه القاعدة وترا فيها
استنتاج : كل زاويتان مشتركتان فى أحد أضلاعه كقاعدة وفى جهة واحدة منها متساويتان فى القياس بمعنى :
ملاحظة : إذا وجدت زاويتان مرسومتان على قاعدة واحدة وفى جهة واحدة منها وغير متساويتان فى القياس
فإن رأسيهما والقاعدة لاتمر بها دائرة واحدة والشكل ليس رباعى دائري
خواص أخرى للشكل الرباعي الدائري :
نظرية (3) إذا كان الشكل الرباعي دائري فإن
كل زاويتان متقابلتان فيه متكاملتان
ق( < أ) + ق( <جـ ) = 180 ْ , ق( <ب) + ق( <ء) = 180 ْ
نتيجة : قياس الزاوية الخارجة عند أي رأس
من رؤوس الشكل الرباعي الدائري تساوى
قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها
ق ( <أ ب هـ) = ق ( < ء )
حالات أخرى للرباعي الدائري :
عكس نظرية (3) يكون الشكل الرباعي دائري إذا كان فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان
عكس النتيجة : يكون الشكل الرباعي دائري إذا وجدت زاوية خارجة عند أحد رؤوسه قياسها يساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها
ملخص حالات الرباعي الدائري : يكون الشكل الرباعي دائري إذا وجدت فيه إحدى الحالات الآتية:
(1) إذا وجدت نقطة ثابتة في المستوى تبعد عن كل رأس من رؤوسه بعدا ثابتا(بمعنى أن رؤوسه تقع على دائرة واحدة ).
(2) إذا وجدت زاويتان مرسومتان على أحد أضلاعه كقاعدة وفى جهة واحدة منها متساويتان في القياس
(3) إذا وجدت فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان
(4) إذا وجدت زاوية خارجة عند أحد رئسه قياسها يساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها
ملاحظة :
(1) المربع ، المستطيل , شبه المنحرف المتساوي الساقين أشكال رباعية دائرية
(2) متوازي الأضلاع ، المعين , شبه المنحرف أشكال ليست رباعية دائرية
الـتــمــــــا س:
نتائج : (1) المماس يكون عموديا على نصف القطر( أو القطر) المرسوم من نقطة التماس
(2) المماسان المرسومان لدائرة من نهايتي قطر فيها متوازيان
نظرية ( 4 ) :القطعتان المماسان المرسومتان من نقطة خارج دائرة لهذه الدائرة متساويتان في الطول
نتائج نظرية ( 4 ) : (1)أ م محور تماثل ب جـ (2)أ م تنصف <أ , <ب م جـ
تمرين مشهور :مركز الدائرة الداخلة لأي مثلث هو نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلة
تذكر أن : مركز الدائرة الخارجة لأي مثلث هو نقطة تقاطع محاور تماثل أضلاعه
ملاحظة : إذا كان المثلث متساوي الأضلاع فإن الدائرتين الخارجة والداخلة له متحدى المركز
الزاوية المماسية : هي حالة خاصة من الزاوية المحيطية وقياسها يساوى نصف قياس القوس المحصور بين ضلعيها
نظرية( 5): قياس الزاوية المماسية تساوى قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها في القوس
نتيجة : قياس الزاوية المماسية تساوى نصف
قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في قوس واحد
عكس نظرية (5) : إذا كان قياس الزاوية
المحصورة بين وتر في دائرة وشعاع بدايته إحدى
نهايتي الوتر يساوى قياس الزاوية المحيطية
المنشأة على الوتر من الجهة الأخرى
فإن هذا الشعاع يكون مماسا للدائرة
الأربعاء مايو 12, 2010 7:04 pm
